☛ ** Lieux géométriques

Énoncé

Dans cet exercice, on considère trois points \(\text{A}, \text{B}\) et \(\text{C}\) distincts du plan.
1. Quel est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{AM}=3\) ?
2. Quel est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{ABM}\) est un triangle isocèle en \(\text{M}\) ?
3. Quel est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}\) ?
4. Quel est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{(AM)}\)et \((\text{BM})\) sont perpendiculaires ?
5. Quel est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAM}}\) ?

Solution

1. Chercher l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{AM}=3\) signifie que l'on cherche tous les points \(\text{M}\) du plan situés à une distance de 3 (unités de longueur) du point \(\text{A}\). Cet ensemble correspond au cercle de centre \(\text{A}\) et de rayon 3.

2. Dire que \(\text{ABM}\) est un triangle isocèle en \(\text{M}\) se traduit par \(\text{AM}=\text{BM}\).
\(\)On cherche donc l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan équidistants de \(\text{A}\) et de \(\text{B}\).
L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment \([\text{AB}]\).

3. On a \(\text{AM}=\text{BM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatrice du segment \([\text{AB}]\).
On a aussi :   

•  \(\text{CM}=\text{BM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatrice du segment \([\text{CB}]\).
•  \(\text{AM}=\text{CM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatrice du segment \([\text{AC}]\).

On en déduit que \(\text{M}\) est le point d'intersection (ou point de concours) des trois médiatrices du triangle \(\text{ABC}\), soit le centre du cercle circonscrit au triangle \(\text{ABC}\).
Donc l'ensemble cherché est réduit à un seul point le centre du cercle circonscrit à \(\text{ABC}\).

4. \(\text{(AM)}\) et \((\text{BM})\) sont perpendiculaires donc \(\text{AMB}\) est un triangle rectangle en \(\text{M}\).
\([\text{AB}]\) est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Or, si \(\text{AMB}\) est un triangle rectangle en \(\text{M}\), alors le milieu de \([\text{AB}]\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(\text{AMB}\).
On en déduit que l'ensemble cherché est le cercle de diamètre \([\text{AB}]\), privé des points \(\text{A}\) et \(\text{B}\).

5. On a \(\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAM}}\) donc \(2\times\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{BAC}}\).
Donc \(\text{M}\) appartient à l'ensemble des points qui sépare l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) en deux angles de même mesure.
Ainsi l'ensemble cherché est la bissectrice de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) .